MCM Y MCD

MCD Y MCM

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Ejemplo:

Analizamos los divisores de 18 y 24.

•Divisores de 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18

•Divisores de 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Se observa que los divisores comunes de 18 y 24 son: 1; 2; 3; 6.

El mayor común divisor es 6.

Luego, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6.

Es decir: MCD(18; 24) = 6.

Propiedades:

1.   Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisores de su MCD.

2.   Si A, B y C son PESI (primos entre sí), entonces:

MCD(A, B, C) = 1

3.   Si  A = B y  C = B, entonces:

      MCD(A, B, C) = B 

MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD

1. Método de intersección de divisores

Se determinan los divisores de cada número, para luego hallar la intersección de los divisores de todos los números, el MCD será el mayor divisor común de la intersección.

Ejemplo:

Calcula el MCD de 24; 36 y 48.

Solución:

Determinamos los divisores de 24; 36 y 48:

•D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

•D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

•D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Tenemos que:

D(24) ∩ D(36) ∩ D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Luego:

MCD(24; 36; 48) = 12

2. Método de descomposición canónica

Se determina la descomposición canónica de cada número. Luego, el MCD es el producto de los divisores comunes tomados con su menor exponente.

Ejemplo:

Calcula el MCD de 18; 27 y 45.

Solución:

Descomponemos canónicamente:

18    2          27    3  45    3

  9    3                 9    3  15    3

  3    3                 3    3    5    5

  1                       1     1

18 = 2.3^2        27 = 3^3             45 = 3^2.5

Luego:

MCD(18; 27; 45) = 3^2  = 9

3. Método práctico o abreviado

Descomponemos sus factores primos comunes en forma simultánea, luego el MCD es el producto de los valores encontrados.

Ejemplo:

Calcula el MCD de 48; 64 y 112.

Solución:

Descomponemos en forma simultánea:

        48  -  64  -  112     2

        24  -  32  -    56     2

        12  -  16  -    28     2

          6  -   8   -    14     2

          3  -   4   -      7

Luego:

MCD(24; 36; 48) = 2^4= 16

4. Método del algoritmo de Euclides

También se le conoce con el nombre de divisiones sucesivas.

Cocientes	q1	q2	q3	q4
A	B	r1	r2	r3
Residuos	r1	r2	r3	0

Luego: MCD(A, B) = r3

Ejemplo:

Calcula el MCD de 580 y 320.

Solución:

Cocientes	1	1	4	3
580	320	260	60	20
Residuos	260	60	20	0

Solución:

Luego:

MCD(580; 320) = 20

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) 

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números, es el menor múltiplo común de dichos números.

Ejemplo:

Analizamos los múltiplos de 18 y 24.

•Múltiplos de 18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; …

•Múltiplos de 24: 24; 48; 72; 96; 120; …

Se observa que el menor múltiplo de 18 y 24 es: 72.

Luego, el mínimo común múltiplo de 18 y 24 es 72.

Es decir: MCM(18; 24) = 72.

Propiedades adicionales:

1. Si MCD(A, B, C) = d, entonces:

A/d=p;  B/d=q; C/d=r , además p, q y r son PESI.

2. Si MCM(A, B, C) = m, entonces:

m/A=p;  m/B=q; m/C=r , además p, q y r son PESI.

3. Para dos números A y B se cumple que:

A x B = MCM(A, B) x MCD(A, B)

1. Método de descomposición canónica

Se determina la descomposición canónica de cada número. Luego, el MCM es el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.

Ejemplo:

Calcula el MCM de 18; 27 y 45.

Solución:

Descomponemos canónicamente:

18    2          27    3  45    3

  9    3                 9    3  15    3

  3    3                 3    3    5    5

  1                       1     1

18 = 2.3^2        27 = 3^3             45 = 3^2.5

Luego:

MCM(18; 27; 45) = 〖2.3〗^3.5 = 270

2. Método práctico o abreviado

Descomponemos sus factores primos comunes en forma simultánea, hasta llegar al cociente 1; luego el MCM es el producto de los valores encontrados.

Ejemplo:

Calcula el MCM de 12; 16 y 18.

Solución:

Descomponemos en forma simultánea:

           12  -  16  -    18     2

          6  -    8  -      9     2

          3  -    4  -      9     2

          3  -    2   -     9     2

          3  -    1   -     9     3

          1  -    1   -     3     3

          1  -    1   -     1

Luego:

MCM(18; 27; 45) = 2^4 〖.3〗^2  = 144

https://www.youtube.com/watch?v=QjUlkhx_gps

EJERCICIOS

1. Si el MCD de 6m, 8m y 12m es 72, calcula el valor de «3m – 2».

Solución:

Descomponemos en forma simultánea:

6m   -   8m   -   12m      2

3m   -   4m   -     6m      m

  3    -     4    -      6

MCD(6m; 8m; 12m) = 2m

Por dato MCD(6m, 8m, 12m) = 72 Entonces:

2m = 72    →    m = 36

Luego:

3m – 2 = 3.36 – 2 = 106 

Rpta.: 106

2. Calcula el valor de «2x + 5», si el MCM de A y B tienen 72 divisores.

A = 2^(x+1).3.7^2 ;  B = 2^2x.7^3

Solución:

Tenemos que el MCM de A y B es:

MCM(A; B) = 2^2x.3.7^3

Sabemos que: 

C.D.(MCM(A; B)) = (2x+1)(1+1)(3+1)

72 = (2x+1)(2)(4)

  9 = 2x + 1     →    x = 4 

Luego:

2x + 5 = 2.4 + 5 = 13 

Rpta.: 13

3. En una competencia de tres atletas. El primero pasa por un punto cada 20 minutos, el segundo cada 16 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si acaban de pasar por dicho punto los tres atletas, ¿dentro de cuánto tiempo volverán a coincidir?

Solución:

Calculamos el MCM de los tiempos de los atletas:

20   -   16   -   15      2

10   -    8   -    15      2

 5    -    4    -   15      2

 5    -    2    -   15      2

 5    -    1    -   15      3

 5    -    1    -    5       5

 1    -    1    -    1

MCM(20; 16; 15) = 2^4.3.5 = 240

Rpta.: Volverán a coincidir en 240 minutos.

4. Se tienen tres depósitos con vino: el primero con 24 litros, el segundo con 36 litros y el tercero con 48 litros. Si queremos embotellarlos en envases de igual capacidad que contengan la mayor cantidad de litros y sin que sobre vino, ¿qué capacidad deben tener los tres envases?

Solución:

Calculamos el MCD de 24; 36 y 48 litros:

24   -   36   -   48      2

12   -   18   -   24      2

 6    -    9    -   12      3

 2    -    3    -    4     

MCD(24; 36; 48) = 2^2.3 = 12

Rpta.: Los envases deben tener 12 litros de capacidad.